记不住的高数公式

这你都记不住?今晚给我复习到两点!

基本常识

  • 不等式

    • \( |\,\,|\, a \,|\, - \, |\, b \,|\,\,| \leq |\, a \pm b \,| \leq |\,a \,| + |\, b \,| \)

    • \( \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\, \leq \, \sqrt{ab} \, \leq \, \frac{a+b}{2}\, \leq \, \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \)

    • \( \sqrt[3]{abc}\, \leq \, \frac{a+b+c}{3}\, \leq \, \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \)

    • \( \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}\, \leq \, \frac{a_1+a_2+ \cdots + a_n}{n} \)


  • 立方公式

    • \( a^3+b^3 = (a+b)\,(a^2-ab+b^2) \)
    • \( a^3-b^3 = (a-b)\,(a^2+ab+b^2) \)
    • \( (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2 \)


  • 三角变换

  • 分子有理化

    • \( \sqrt[]{a} - \sqrt[]{b} = \frac{a-b}{\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}} \)

微积分部分

极限部分

  • 常用结论

  • 常用的几个极限

    • \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin}{x} = 1 \)
    • \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \)
    • \( \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \)
    • \( \lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{a} = 1 \; (常数 a > 0)\)

  • 等价无穷小

    • \(x \to 0\) 时,
    • \(\sin{x}\backsim x\),  \(\tan{x}\backsim x\),  \(1-\cos{x} \backsim \frac{1}{2}x^2\),  \(\arcsin x \backsim x\),  \(\arctan x \backsim x\)
    • \(e^x - 1 \backsim x\)
    • \(\ln({1+x})\backsim x\)   注: 此公式还有一种形式 \(u\to1时,\; \ln{u}\backsim (u-1)\)
    • \(a^x-1\backsim x\ln a\)
    • \((1+x)^a-1 \backsim ax\)
    • \(x^m + x^k \backsim x^m \; (常数 k > m > 0)\)
    • \(x-\ln{(1+x)} \backsim \frac{1}{2}x^2\)
    • \( x + \sin{x} \backsim 2x \)

    • 注:下面四个公式之间可以互相加减,以变换成新的等价代换公式

    • \(x-\sin{x} \backsim \frac{1}{6}x^3\)
    • \(\arcsin{x}-x \backsim \frac{1}{6}x^3\)
    • \(x-\tan{x} \backsim -\frac{1}{3}x^3\)
    • \(\arctan{x}-x \backsim -\frac{1}{3}x^3\)

    • 若 \(\lim{u^v}\)是\(1^{\infty}\) 型极限, 则 \(\lim{u^v}=e^A\), 其中 \(A=\lim{v(u-1)}\)

  • \(\color{red}{几个常用函数的 x=0 处展开的佩亚诺余项公式}\)


微积分部分

  • 常用结论


  • 泰勒公式

  • 基本初等函数的导数公式


  • \(n阶导数公式\;\)


  • 曲率计算公式


  • 基本积分公式


  • 定积分的应用


  • \( \color{red}{柯西不等式} \)


  • 用定义判断函数可微


  • \( \color{red}{几个常用的麦克劳林展开式} \)


  • \( \color{red}{格林公式} \)


  • \( \color{red}{斯托克斯公式} \)


  • 高斯公式

     上述公式或者结论在高数复习的过程中无所不在。所以,这些公式、结论也都是我们必须得记会的。事实上,文中所记载的这些公式并不齐全,我只是将比较常用的几个贴了上来。此外,至于 “向量代数与空间解析几何” 和 “常微分方程” 这两部分,我并没有给出任何公式或是结论————这两章的内容不能说简单,但是与它们有关的公式不多,多做几个题目,基本就记住啦。

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