样本方差公式推导

为什么样本方差公式里的分母是 (n-1) ?

如果已知随机变量 $ \bf X $ 的期望为 $\bf\mu$ ,那么可以按照方差的计算公式得到:

这么计算的话,我们得知道 $\bf X$ 的具体分布是什么,而我们往往并不知道准确分布,只有一部分样本罢了。

所以实践中都是采集样本之后,再用下面这个 $\mit S^2$ 来近似 $ {\mit\sigma}^2 $ :

事实上,我们往往连 $\bf X$ 的期望 $\bf \mu$ 也不清楚,只能根据样本计算样本均值:

我们用上面得到的样本均值来计算 $\mit S^2$ :

为什么 使用 $\bf\bar{X}$ 代替 $\bf\mu$ 之后,分母就变成了 $\bf\frac{1}{n\,-\,1} ?$


下面我们就来推导一下,假如分母不是 $\bf\frac{1}{n\,-\,1}$ 的话,我们会得到什么样的结果。

$\bf\therefore$

$\bf\therefore$

因此,为了得到 无偏估计,我们做以下处理:

即我们的样本方差公式应该为:

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